Tháng: Tháng Mười Một 2017

Differential geometry textbook recommendations (Alan U. Kennington)

Sections:
PM A good introduction to modern pure mathematical differential geometry.
phy A useful introduction to the physics style of differential geometry.
DF Contains an exposition of the theory of differential forms.
ST Contains some useful material on the Stokes theorem.
FB Contains a useful introduction to fibre bundles.
GC Contains a useful introduction to general connections on general fibre bundles.
hol Contains some introductory material on holonomy groups.
aff Contains a useful introduction to affine connections (metric-free).
JF Contains useful introductory material on Jacobi fields, exponential maps and normal coordinates.
RG Contains useful introductory or advanced material on Riemannian geometry.
HR Contains an exposition of the Hopf-Rinow completeness theorem.
PR Contains useful material on pseudo-Riemannian geometry.
GR Contains an exposition of general relativity.
GT Contains some material on gauge theory.
  1. Pure mathematical DG:
    For an introduction to modern-style graduate-level pure mathematical differential geometry, I would suggest the following.

    At the postgraduate/postdoctoral/professional level, I would suggest the following.

    For a good all-round introduction to modern differential geometry in the pure mathematical idiom, I would suggest first the Do Carmo book, then the three John M. Lee books and the Serge Lang book, then the Cheeger/Ebin and Petersen books, and finally the Morgan/Tián book. After that you should be ready to do some research! (It should take about 2 or 3 years to read and understand these books, assuming that you have done 3 years of university-level pure mathematics already.) The Schoen/Yau book lists hundreds of open problems in differential geometry for you to work on!

    Broadly speaking, the pure mathematics DG books are principally concerned with pure static geometry, whereas the physics DG books are more concerned with what happens in a given geometry. In the physics books, the geometry is merely an arena where physics happens, although general relativity is concerned with the dynamic two-way interactions between the arena and the actors in the arena. Thus physics DG is more concerned with the structures which can be built on a geometric substrate, and the dynamic evolution and interactions of those structures, whereas pure mathematical DG typically only builds structures on a manifold as mathematical tools for the purpose of studying the static properties of the manifold itself.

  2. Physics DG:
    For something up-to-date at the 3rd or 4th year undergraduate level, with applicability to physics, I would suggest:

    Other books on differential geometry with direct relevance to physics are as follows.

    My personal suggestion for the physics angle on differential geometry would be to read the books by Szekeres, Frankel, Bleecker, Nash/Sen, and Sternberg, in that order. (However, beware that my expertise in this area is a bit thin.) You might have to read some of the pure mathematical books as background for the physics-oriented DG books. All physics DG books are more or less stream of consciousness. Your best choice of DG books would depend on whether you’re more interested in cosmology or quantum field theories. If you want to read some books which are more stream of consciousness than average, you could try Misner/Thorne/Wheeler and Penrose if you have a lot of spare time up your sleeve.

  3. Differential forms:
    Some books which are specifically focused on differential forms are as follows.

    Other books which contain introductions to differential forms include the following.

  4. The Stokes theorem:
    Of course, this is really the Kelvin theorem, and credit also belongs to Gauß, Green, Ampère, etc.

  5. Fibre bundles:
    Fibre bundles have been around since Seifert (1932). The first published recognition of the strong relation between fibre bundles and gauge theory was by Dennis Sciama (1958). The following are some useful presentations of fibre bundles.

  6. General connections:
    The following are some useful presentations of general connections on general fibre bundles.

  7. Holonomy groups:
    Apparently it was Élie Cartan in 1926 who first published the idea of holonomy groups.

  8. Affine connections (metric-free) on manifolds:
    If you’re interested in affine connections on manifolds in the absence of a metric, there are fairly substantial treatments by the following.

  9. Geodesic coordinates, normal coordinates, exponential maps, Jacobi fields:
    Useful presentations of (some or all of) geodesic coordinates, normal coordinates, exponential maps (of a connection) and Jacobi fields are found in the following books.

  10. Riemannian geometry:
    Riemannian geometry is mostly written about by pure mathematicians. Pseudo-Riemmanian geometry is mostly written about by physicists. A few books are not listed here because, although they define Riemannian manifolds, they are really about topology with almost no relevance for Riemannian geometry.

  11. Hopf-Rinow theorem:
    The Hopf-Rinow completeness theorem (1931) states that under specific conditions on a Riemannian manifold, every pair of points can be joined by a curve whose length is equal to the distance between the two points.

  12. Pseudo-Riemannian geometry:
    Also known as semi-Riemannian geometry. Includes Minkowskian geometry, also known as space-time geometry.

  13. General relativity:
    By general relativity, I mean curved space-time models where the curvature is related to the stress-energy tensor. So this is an application of pseudo-Riemannian spaces. Surprisingly perhaps, differential geometry seems to be more often applied to particle physics than to curved space, given that originally DG became popular with physicists for its relevance to GR.

  14. Gauge theory:
    Gauge theory applies connection forms on principal bundles to Lagrangians for theories such as gravity, electromagnetism or Yang-Mills theory for the standard model. Most of the books listed here only mention gauge transformations very briefly. So most are not useful for Yang-Mills and quantum field theory in the standard model. (Of course, you have to read the physics literature to get seriously into this subject.)

Introductory texts on manifolds

Just as you mention it, I strongly recommmend the new edition of Tu – “An Introduction to Manifolds” since it is accessible but also very well-organized and motivated and basically starts up from multivariable calculus and ends up with cohomology of manifolds (it is very useful for example to get the needed background to follow his other more advanced and topologically focused text Bott/Tu – “Differential Forms in Algebraic Topology”). Moreover it includes hints and solutions to many problems!.

A little bit more advanced and dealing extensively with differential geometry of manifolds is the book by Jeffrey Lee – “Manifolds and Differential Geometry” (do not confuse it with the other books by John M. Lee which are also nice but too many and too long to cover the same material for my tastes). You can use it as a complement to Tu’s or as a second reading. It is much more complete since it deals with all the stuff in Tu’s but includes a lot more like vector bundles and connections, Riemannian geometry, etc.

In the same spirit of the previous book but a little better in my opinion, and even more complete, is the title by Nicolaescu – “Lectures on the Geometry of Manifolds“. Its table of contents is amazing in scope dealing with some advanced topics most other introductory books avoid like classical integral geometry, characteristic classes and pseudodifferential operators. It supposedly builds everything up just from a background in linear algebra and advanced multivariable calculus. It may seem a little bit advanced at first, but it is the best book to read with/after Tu’s. Its exercises are quite solvable and I learned a lot from it.

In the end, my advise is to get Tu’s and if you feel comfortable after a while with it and want to learn more on the geometry of manifolds, get Nicolaescu’s (or Lee’s).

If you look for an alternative to Tu’s I believe the best one is John M. Lee – “Introduction to Smooth Manifolds”; it is a well-written book with a slow pace covering every elementary construction on manifolds and its table of contents is very similar to Tu’s. Other alternative maybe Boothby – “Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry” since it also builds everything up starting from multivariable analysis. If you prefer a transition from differential curves and surfaces focusing on riemannian geometry you have Kühnel – “Differential Geometry: Curves, Surfaces, Manifolds“.

Introduction to Smooth Manifolds by John M. Lee is a great text on the subject. It covers similar material to Loring W. Tu’s text. Lee’s book is big (~650 pages) but the exposition is clear and the book is filled with understandable examples.

However, I would argue that one of the best introductions to manifolds is the old soviet book published by MIR, Mishchenko/Fomenko – “A Course of Differential Geometry and Topology”. It develops everything up from RnRn, curves and surfaces to arrive at smooth manifolds and LOTS of examples (Lie groups, classification of surfaces, etc). It is also filled with LOTS of figures and classic drawings of every construction giving a very visual and geometric motivation. It even develops Riemannian geometry, de Rham cohomology and variational calculus on manifolds very easily and their explanations are very down to Earth. If you can get a copy of this title for a cheap price (the link above sends you to Amazon marketplace and there are cheap “like new” copies) I think it is worth it. Nevertheless, since its treatment is a bit dated, it lacks the kind of hard abstract algebraic formulation used nowadays (forget about functors or exact sequences, like Tu or Lee mention), that is why I believe an old fashion geometrical treatment may be very helpful to complement modern titles for a person entering the subject needing a good geometrical foundation. In the end, we must not forget that the old masters that founded the subject were much more visual an intuitive than the modern abstract approaches to geometry, and that motivation was what culminated in the unified abstract approach of nowadays.

Differential topology versus differential geometry(Wiki)

Differential topology and differential geometry are first characterized by their similarity. They both study primarily the properties of differentiable manifolds, sometimes with a variety of structures imposed on them.

One major difference lies in the nature of the problems that each subject tries to address. In one view,[3] differential topology distinguishes itself from differential geometry by studying primarily those problems which are inherently global. Consider the example of a coffee cup and a donut (see this example). From the point of view of differential topology, the donut and the coffee cup are the same (in a sense). This is an inherently global view, though, because there is no way for the differential topologist to tell whether the two objects are the same (in this sense) by looking at just a tiny (local) piece of either of them. He or she must have access to each entire (global) object.

From the point of view of differential geometry, the coffee cup and the donut are different because it is impossible to rotate the coffee cup in such a way that its configuration matches that of the donut. This is also a global way of thinking about the problem. But an important distinction is that the geometer does not need the entire object to decide this. By looking, for instance, at just a tiny piece of the handle, he can decide that the coffee cup is different from the donut because the handle is thinner (or more curved) than any piece of the donut.

Đa tạp vi phân và hình học vi phân

Loại bỏ các tính chất riêng biệt của các đối tượng hình học được nghiến cứu trong hình học vi phân, tổng quát hóa các tính chất chung nhất của chúng, người ta đi đến khái niệm đa tạp vi phân chứa các khái niệm về các đường, các mặt, họ các đường, các mặt trong không gian Euclide và phi Euclide. Như vậy, các đa tạp vi phân chính là các tượng tổng quát của hình học vi phân.

Tô-pô là gì và ích gì? ( Từ GS. Nguyễn Tiến Dũng)

Tô-pô là gì và ích gì?

TIEN ZUNG NGUYEN·TUESDAY, NOVEMBER 29, 2016

Tôi đang chuẩn bị tinh thần làm GS mời tại “SJTU” một thời gian, với một chế độ phải nói là khá ưu đãi. Họ chỉ yêu cầu tôi dạy 1 course, chọn giữa môn Tô-pô và môn Mặt cực tiểu trong 3 chiều. Tôi không rõ lắm tại sao họ lại muốn dạy mặt cực tiểu và bài toán Plateau trong 3 chiều (là môn hơi chuyên ngành hẹp) cho sinh viên. Đây là thứ mà xưa tôi cũng phải học vì ông thầy tôi làm nó, cũng là thứ mà GS Đào Trọng Thi làm luận án TSKH về nó, nhưng luận án thì sai, ông Thi thì vẫn lên đủ các chức sau đó. Lúc đầu biết chuyện luận án đó sai tôi ngạc nhiên và buồn cho khoa học VN, nhưng về sau buồn thì có buồn nhưng không hề ngạc nhiên nữa, khi hiểu rõ hơn cái thể chế chính trị “cò gỗ mổ cò thật” của VN, những ai làm ăn đàng hoàng tử tế mà ngoi được lên nắm chức quyền cao thì mới là lạ.
Nhưng dù sao thì tôi không quen cái món mặt cực tiểu đó bằng món tô pô, là thứ tôi dùng thường xuyên và dạy nhiều năm, nên tôi chọn dạy môn tô pô cho dễ. Đây cũng là một dịp để điểm lại xem “tô pô là gì, có ích gì”? Lần đầu tiên tôi được tiếp xúc với tô-pô là qua quyển sách “Tô pô đại cương” (General Topology) của Kelley do GS Đỗ Đức Thái cho mượn từ năm 1986 khi còn ở Việt Nam. Thời xa xưa đó, tất nhiên tôi đọc cũng có hiểu phần lớn các định lý, nhưng là chỉ hiểu một cách rất máy móc, chứ không hiểu ý nghĩa của chúng, sao lại cần chúng để làm cái quái gì (và cũng chẳng có ai dạy cho). Mãi sau này tôi mới từ từ hiểu dần về ý nghĩa của tô-pô. Nhưng khi dạy học lần này, tôi muốn các sinh viên cảm thấy được ý nghĩa ngay từ đầu, để khả năng ứng dụng được cao hơn. Xuất phát điểm của môn tô-pô là quãng cuối thế kỷ 19 – đầu thế kỷ 20, với những tên tuổi như Poincaré, Cantor, Klein, Mobius, Brouwer, Urysohn, v.v. Poincaré gọi nó là “analysis situs”, tức là “giải tích theo vùng miền”. Nói một cách nôm na, những tính chất tô-pô của các vật thể (hay không gian) được xem xét chính là những tính chất hình học “rough, robust” của nó, không bị mất khi ta thay đổi (biến dạng, bóp méo) nó một cách “liên tục” mà không “làm gãy, khoét đi hay gắn gì vào ở chỗ nào”. Ví dụ như cái chun buộc là một vòng tròn – nhưng đó là một vòng tròn tô-pô, dù xếp méo mó hay kéo dài nó ra đến mấy thì về mặt tô-pô nó vẫn “tròn”, tức là vẫn là một “đường khép kín không có điểm đầu điểm đuôi”, nhưng nếu làm đứt nó thì nó không còn là vòng tròn tô-pô nữa.
Để nhận biết xem các hình (các không gian, đa tạp, …) giống nhau hay khác nhau về mặt tô-pô, người ta phải nghĩ ra các tính chất đặc trưng của chúng (tính compact, tính đầyy đủ, tính tách được, tính liên thông, số chiều, các chỉ số, các nhóm đồng luân đồng điều v.v.), và đại số chính là công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính chất đó, nên mới xuất hiện ngành “tô-pô đại số”. Ví dụ như cái bánh có 1 lỗ thì giống cái cốc có 1 quai nhưng khác cái bánh có 2 lỗ về mặt tô-pô, và số “lỗ” ở đây chính là một loại chỉ số đặc trưng để mà phân biệt. Thế tô-pô có ích gì? Nhiều lắm, tôi cũngchỉ biết một vài trong số đó thôi, ở đây xin kể qua. Thứ nhất là ứng dụng trong giải tích hàm, để mà khảo sát nghiệm của các loại phương trình vi tích phân và đạo hàm riêng v.v. Nhiều khái niệm tô-pô (như là to pô yếu, tô pô mạnh, hội tụ yếu, completion, v.v.) được phát triển chính là vì nhu cầu của việc nghiên cứu các hàm số, và cũng chính vì thế môn tô-pô đại cương hay dược dạy chung với môn giải tích hàm ở đại học.
Thứ hai là trong mô tả toán học nói chung của hình học và của thế giới. Thế giới cần được mô tả bằng hình học, và từ khi có ngôn ngữ tô-pô thì người ta mới mô tả nó dễ dàng hơn chứ trước kia rất lúng túng và nhiều khi tối nghĩa.
Thứ ba là trong vật lý và hóa học. Ba nhà vật lý được giải Nobel 2016 chính là nhờ các công trình về “chuyển pha tô-pô”: các pha khác nhau của vật chất (ví dụ giữa pha cách điện và pha dẫn điện và pha siêu dẫn) khác nhau về mặt tô-pô như thế nào, và điều này chắc chắn có nhiều ứng dụng trong công nghệ vật liệu mới. Trước đó, người ta cũng đã biết hiện tượng “chirality” (bên trái bên phải khác nhau) trong hóa học của các phân tử chính là hiện tượng tô-pô.
Thứ tư là trong lý thuyết trò chơi chiến lược trong các vấn đề chính trị xã hội cũng có sự xuất hiện của tô-pô, ví nhụ như khi người ta nghiên cứu các ổn định Nash, đưa về lý thuyết diểm kỳ dị kiểu như thuyết Morse.
Thứ năm là trong tin học. Ví dụ như “domain theory” (một lý thuyết về mạng thông tin) dùng rất nhiều khái niệm tô-pô …
Và còn nhiều thứ khác nữa …
Một điều thú vị nữa là tô-pô và tổ hợp là hai ngành toán học tưởng chừng rất xa cách nhau nhưng thực rất gần gũi (vì toán học là một thể thống nhất!). Ví dụ như định lý Brouwer về điểm bất động thể phát biểu lại như một bài toán tổ hợp và chứng minh bằng phương pháp tổ hợp .